Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[z-y, y^3, 2 z^3], S é a superfície de y^2+z^2 <= 4, -3 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F=[z-y,,y^3,,2z^3] através da superfície fechada S formada pelo cilindro y^2+z^2<=4, -3<= x<=3. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo pelo contorno S é igual ao integral triplo da divergência de vec F sobre o volume E interno ao cilindro.

Passo 2

Calculemos a divergência:
nablacdotvec F=partialpartial x(z-y)+partialpartial y(y^3)+partialpartial z(2z^3)=0+3y^2+6z^2=3y^2+6z^2

Passo 3

Pelo teorema da divergência:
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaE(3y^2+6z^2),dV
No cilindro usamos coordenadas cilíndricas em torno do eixo x:
rin[0,2],thetain[0,2pi],xin[-3,3] com r e jacobiano integral triplaE(3y^2+6z^2)dV=integralx=-3^3integraltheta=0^2piintegralr=0^2(3r^2cos^2theta+6r^2sin^2theta),r,dr,dtheta,dx . Então

Passo 4

Primeiro a integral em r:
integral0^2(3r^3cos^2theta+6r^3sin^2theta)dr=3cos^2theta2^44+6sin^2theta2^44=12cos^2theta+24sin^2theta
Em seguida a integral em theta e x:
integral0^2pi(12cos^2theta+24sin^2theta)dtheta=12pi+24pi=36pi, integral-3^3dx=6
Multiplicando tudo: fluxo = 6times36pi=216pi.

Resposta

216\pi

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