Encontre uma representação paramétrica das seguintes curvas.
Círculo y^2+4 y+z^2=5, x=3

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica da curva dada pelas equações y^2+4y+z^2=5 e x=3. O tema é curvas em R^3 e precisaremos completar o quadrado em y para identificar que tipo de curva é.

Passo 2

Começamos pelo completamento de quadrado em y:
y^2+4y+z^2 = (y+2)^2-4+z^2 =5 implies (y+2)^2+z^2 =9
Isso mostra que a curva é um círculo de raio 3 no plano paralelo ao eixo yz, com centro em (y,z)=(-2,0) e com x fixo em 3.

Passo 3

Para parametrizar um círculo de raio 3 e centro em (-2,0) no plano yz, usamos um parâmetro t que varia de 0 a 2pi. Escolhemos
y+2 = 3cos t,
z = 3sin t,
sempre mantendo x=3.

Passo 4

Reunindo tudo, a representação vetorial da curva fica:
r(t) = l(x(t),y(t),z(t)r) = l(3,,-2+3cos t,,3sin tr), tin[0,2pi)

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(t) = l(3,,-2+3cos t,,3sin tr), tin[0,2pi)

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