Calcule o valor da integral usando o teorema da divergência.
F=[4 x, 3 z, 5 y], S é a superfície do cone x^2+y^2 <= z^2, 0 <= z <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de vec F=[4x,3z,5y] através da superfície fechada de um cone definido por x^2+y^2 <= z^2, 0 <= z <= 2. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, e vamos precisar determinar a divergência de vec F e o volume do cone.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de vec F sobre o volume V do sólido: integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral triplaV nablacdotvec F,dV.

Passo 3

Calculando a divergência de vec F: nablacdotvec F = partialx(4x) + partialy(3z) + partialz(5y) = 4 + 0 + 0 = 4.

Passo 4

O volume V é o de um cone de raio R=2 e altura h=2. A fórmula do volume do cone é:
V = 13pi R^2 h = 13picdot2^2cdot2 = 8pi3

Passo 5

Substituindo na integral: integral triplaV nablacdotvec F,dV = 4 times V = 4 times 8pi3 = 32pi3 Portanto, o fluxo pedido é 32pi3.

Resposta

32pi3

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