Determine a forma polar do número complexo z=\frac{-1+i}{1+i \sqrt{3}}. (Dica: encontre a forma polar do numerador e do denominador separadamente antes de efetuar a divisão).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a forma polar de z=\frac{-1+i}{1+i\sqrt{3}}. A ideia é escrever numerador e denominador em forma polar e depois usar a regra de divisão: se
w_1 = r_1\bigl(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\bigr) \quad\text{e}\quad w_2 = r_2\bigl(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\bigr),
então
\frac{w_1}{w_2} =\frac{r_1}{r_2}\Bigl[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\Bigr].

Passo 2

Para o numerador -1+i, temos a=-1 e b=1.
O módulo é
r_N=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.
O argumento \theta_N sai de \arctan\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr), mas como a<0 e b>0 (quadrante II), usamos
\theta_N=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Logo
-1+i=\sqrt{2}\Bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

Passo 3

Para o denominador 1+i\sqrt{3}, temos a=1 e b=\sqrt{3}.
O módulo é
r_D=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2,
e o argumento, em quadrante I, é
\theta_D=\arctan\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\pi}{3}.
Assim
1+i\sqrt{3}=2\Bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Passo 4

Aplicando a divisão em forma polar:
z=\frac{r_N}{r_D}\Bigl[\cos(\theta_N-\theta_D)+i\sin(\theta_N-\theta_D)\Bigr].
Aqui
\frac{r_N}{r_D}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \theta_N-\theta_D=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12}.
Logo
z=\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\sin\tfrac{5\pi}{12}\Bigr).

Resposta

z=\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\sin\tfrac{5\pi}{12}\bigr).

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