Utilize a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre para calcular (-1+i \sqrt{3})^{6}. Descreva cada passo, desde a conversão para a forma polar até o cálculo final.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1 + i\sqrt{3})^{6} usando conversão para a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre. Vamos primeiro expressar o número em coordenadas polares e depois aplicar De Moivre.

Passo 2

Calculamos o módulo r e o argumento \theta de z = -1 + i\sqrt{3}.
r = \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2.
Para o argumento,
\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3},
e como o ponto (-1,\sqrt{3}) está no segundo quadrante,
\theta = \pi - \arctan(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Escrevemos z na forma polar:
-1 + i\sqrt{3} = 2\bigl(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Aplicamos a Primeira Fórmula de De Moivre para elevar à sexta potência:
(-1 + i\sqrt{3})^{6} = 2^{6}\Bigl(\cos\bigl(6\cdot\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\sin\bigl(6\cdot\tfrac{2\pi}{3}\bigr)\Bigr) = 64\bigl(\cos 4\pi + i\sin 4\pi\bigr).

Passo 5

Sabendo que \cos 4\pi = 1 e \sin 4\pi = 0, concluímos
64\bigl(\cos 4\pi + i\sin 4\pi\bigr) = 64\,(1 + i\cdot0) = 64.

Resposta

64

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