Calcule o valor de \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{15}. Apresente o resultado final na forma x+y i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{15} e apresentar o resultado na forma x+y i.
Informações dadas:
  • A base do expoente é o número complexo \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.
  • O expoente é 15.
  • Quer-se a forma x+y i (ou seja, a parte real e a parte imaginária explícitas).

Passo 2

Vamos primeiro escrever o número complexo em forma polar (módulo e argumento). Calcule o módulo r do número
r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Desenvolvendo:
r=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.
Portanto o módulo é r=1.

Passo 3

Agora calculamos o argumento \theta. Usamos a tangente pelo quociente da parte imaginária pela parte real:
\tan\theta=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.
Como ambas as partes (real e imaginária) são positivas, o argumento está no primeiro quadrante e
\theta=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.

Passo 4

Escrevendo o número na forma polar (ou forma trigonométrica):
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i = r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)=1\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigr).

Passo 5

Apresento a ferramenta que vamos usar: a fórmula de De Moivre. Ela diz que, para r\ge0, \theta\in\mathbb{R} e inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo e \theta é o argumento; a fórmula é válida para qualquer inteiro n. No nosso caso r=1, o que simplifica bastante, porque r^{15}=1.

Passo 6

Aplicando De Moivre com n=15, r=1 e \theta=\dfrac{\pi}{3}:
\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\right)^{15} =1^{15}\bigl(\cos(15\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(15\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr) =\cos\bigl(15\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\sin\bigl(15\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Calcule o ângulo:
15\cdot\tfrac{\pi}{3}=5\pi.

Passo 7

Avalie \cos(5\pi) e \sin(5\pi). Usando a periodicidade das funções trigonométricas ( \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta) verificamos que
5\pi = \pi + 2\pi\cdot2,
portanto
\cos(5\pi)=\cos(\pi)=-1, \qquad \sin(5\pi)=\sin(\pi)=0.

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão,
\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\right)^{15}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=-1+0\,i.

Resposta

-1 + 0 i

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