Calcule o valor de
. Apresente o resultado final na forma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
e apresentar o resultado na forma
.
Informações dadas:
- A base do expoente é o número complexo
. - O expoente é
. - Quer-se a forma
(ou seja, a parte real e a parte imaginária explícitas).
Passo 2
Vamos primeiro escrever o número complexo em forma polar (módulo e argumento). Calcule o módulo
do número
Desenvolvendo:
Portanto o módulo é
.
Passo 3
Agora calculamos o argumento
. Usamos a tangente pelo quociente da parte imaginária pela parte real:
Como ambas as partes (real e imaginária) são positivas, o argumento está no primeiro quadrante e
Passo 4
Escrevendo o número na forma polar (ou forma trigonométrica):
Passo 5
Apresento a ferramenta que vamos usar: a fórmula de De Moivre. Ela diz que, para
,
e inteiro
,
Aqui
é o módulo e
é o argumento; a fórmula é válida para qualquer inteiro
. No nosso caso
, o que simplifica bastante, porque
.
Passo 6
Aplicando De Moivre com
,
e
:
Calcule o ângulo:
Passo 7
Avalie
e
. Usando a periodicidade das funções trigonométricas (
,
) verificamos que
portanto
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão,