Expresse os números reais e imaginários puros
e
na forma polar. Em seguida, calcule
utilizando as propriedades trigonométricas e confirme o resultado algebricamente.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já está dado.
- Dado:
e . - Pedidos:
- Expressar
na forma polar. - Expressar
na forma polar. - Calcular
usando propriedades trigonométricas (forma polar/trigonométrica) e confirmar o resultado por cálculo algébrico direto.
- Expressar
Passo 2
Primeiro, uma aulinha rápida sobre forma polar (passo a passo e com jeitinho):
- Um número complexo genérico é
, onde é a parte real e a parte imaginária. - O módulo (distância até a origem) é
- O argumento (ângulo com o eixo real positivo) é
. Para números em quadrantes ou sobre eixos, escolher o ângulo correto (usar arctan quando e prestar atenção no sinal de e ; para pontos sobre eixos usar os ângulos especiais). - A forma trigonométrica (também chamada forma polar trigonométrica) é
- A forma exponencial (fácil para multiplicar) é
onde
(fórmula de Euler).
- Para multiplicar dois complexos em forma polar: os módulos multiplicam e os argumentos somam. Vou provar isso em detalhe mais adiante.
Passo 3
Calcular a forma polar de
.
- Aqui
e . - Módulo:
- Argumento: o ponto está sobre o eixo real negativo, ou seja, exatamente à esquerda da origem. O argumento principal adequado é
(ângulo de
). Observação: ângulos equivalentes como
também representam o mesmo ponto, mas tomamos o principal
.
- Logo, a forma trigonométrica e exponencial de
são
e
Passo 4
Calcular a forma polar de
.
- Aqui
e . - Módulo:
- Argumento: o ponto está sobre o eixo imaginário positivo, ou seja, exatamente para cima da origem. O argumento principal é
(ângulo de
).
- Assim:
e
Passo 5
Agora explico por que, usando trigonometria, a multiplicação em polar soma argumentos e multiplica módulos.
- Seja
e . Multiplicando:
- Usando as fórmulas de soma de ângulos da trigonometria:
logo a expressão acima fica
- Em linguagem curta: módulos multiplicam e argumentos somam. Em forma exponencial isso aparece como
Passo 6
Aplicar essa propriedade a
e
.
- Módulos:
, . Portanto módulo do produto:
- Argumentos:
, . Portanto argumento do produto:
- Assim, em forma trigonométrica/exponencial:
- Agora avaliar os valores trigonométricos:
e . Portanto
- Observação de ângulos:
é equivalente a ; portanto também poderia escrever .
Passo 7
Confirmar o resultado por cálculo algébrico direto (sem polar):
Isso coincide exatamente com o resultado obtido via forma polar e propriedades trigonométricas.