Expresse os números reais e imaginários puros z=-5 e w=7 i na forma polar. Em seguida, calcule z \cdot w utilizando as propriedades trigonométricas e confirme o resultado algebricamente.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já está dado.
  • Dado: z=-5 e w=7\,i.
  • Pedidos:
    1. Expressar z na forma polar.
    2. Expressar w na forma polar.
    3. Calcular z\cdot w usando propriedades trigonométricas (forma polar/trigonométrica) e confirmar o resultado por cálculo algébrico direto.

Passo 2

Primeiro, uma aulinha rápida sobre forma polar (passo a passo e com jeitinho):
  • Um número complexo genérico é x+iy, onde x é a parte real e y a parte imaginária.
  • O módulo (distância até a origem) é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O argumento (ângulo com o eixo real positivo) é \theta. Para números em quadrantes ou sobre eixos, escolher o ângulo correto (usar arctan quando x\neq0 e prestar atenção no sinal de x e y; para pontos sobre eixos usar os ângulos especiais).
  • A forma trigonométrica (também chamada forma polar trigonométrica) é
x+iy=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr).
  • A forma exponencial (fácil para multiplicar) é
x+iy = r e^{i\theta},
onde e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta (fórmula de Euler).
  • Para multiplicar dois complexos em forma polar: os módulos multiplicam e os argumentos somam. Vou provar isso em detalhe mais adiante.

Passo 3

Calcular a forma polar de z=-5.
  • Aqui x=-5 e y=0.
  • Módulo:
r_z=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5.
  • Argumento: o ponto está sobre o eixo real negativo, ou seja, exatamente à esquerda da origem. O argumento principal adequado é
\theta_z=\pi
(ângulo de 180^\circ). Observação: ângulos equivalentes como \theta_z=-\pi também representam o mesmo ponto, mas tomamos o principal \pi.
  • Logo, a forma trigonométrica e exponencial de z são
z=5\bigl(\cos\pi+i\sin\pi\bigr)
e
z=5e^{i\pi}.

Passo 4

Calcular a forma polar de w=7\,i.
  • Aqui x=0 e y=7.
  • Módulo:
r_w=\sqrt{0^{2}+7^{2}}=\sqrt{49}=7.
  • Argumento: o ponto está sobre o eixo imaginário positivo, ou seja, exatamente para cima da origem. O argumento principal é
\theta_w=\frac{\pi}{2}
(ângulo de 90^\circ).
  • Assim:
w=7\bigl(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\bigr)
e
w=7e^{i\pi/2}.

Passo 5

Agora explico por que, usando trigonometria, a multiplicação em polar soma argumentos e multiplica módulos.
  • Seja r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha) e r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta). Multiplicando:
\begin{aligned} &r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\[4pt] &\quad = r_{1}r_{2}\bigl(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\bigr). \end{aligned}
  • Usando as fórmulas de soma de ângulos da trigonometria:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
logo a expressão acima fica
r_{1}r_{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr).
  • Em linguagem curta: módulos multiplicam e argumentos somam. Em forma exponencial isso aparece como
r_{1}e^{i\alpha}\cdot r_{2}e^{i\beta}=(r_{1}r_{2})e^{i(\alpha+\beta)}.]

Passo 6

Aplicar essa propriedade a z e w.
  • Módulos: r_z=5, r_w=7. Portanto módulo do produto:
r_{zw}=5\cdot7=35.
  • Argumentos: \theta_z=\pi, \theta_w=\tfrac{\pi}{2}. Portanto argumento do produto:
\theta_{zw}=\pi+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}.
  • Assim, em forma trigonométrica/exponencial:
z\cdot w=35\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=35e^{i3\pi/2}.
  • Agora avaliar os valores trigonométricos: \cos\tfrac{3\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1. Portanto
z\cdot w=35\bigl(0 + i(-1)\bigr)=-35\,i.
  • Observação de ângulos: \tfrac{3\pi}{2} é equivalente a -\tfrac{\pi}{2}; portanto também poderia escrever z\cdot w=35(\cos(-\tfrac{\pi}{2})+i\sin(-\tfrac{\pi}{2})).

Passo 7

Confirmar o resultado por cálculo algébrico direto (sem polar):
z\cdot w = (-5)\cdot(7\,i) = -35\,i.
Isso coincide exatamente com o resultado obtido via forma polar e propriedades trigonométricas.

Resposta

z=5\bigl(\cos\pi+i\sin\pi\bigr)=5e^{i\pi}
w=7\bigl(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\bigr)=7e^{i\pi/2}
z\cdot w=35\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)= -35\,i

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