Determine o menor inteiro positivo n para o qual (1-i)^{n} seja um número real positivo. Justifique sua resposta analisando o argumento do número na forma polar.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor inteiro positivo n tal que (1-i)^{n} seja um número real positivo. Informação dada: o número complexo inicial é 1-i. Não há outras restrições; precisamos justificar usando o argumento do número na forma polar.

Passo 2

Converter 1-i para a forma polar: primeiro módulo e argumento.
  • Módulo: r=|1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Argumento: o ponto (1,-1) está no quarto quadrante; o ângulo referente ao vetor é \dfrac{\pi}{4} abaixo do eixo positivo dos reais, portanto o argumento principal pode ser tomado como -\dfrac{\pi}{4}. Assim escrevemos 1-i = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)\right).

Passo 3

Explicar a regra para elevar à potência inteira (fórmula de De Moivre): se \,z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\, então, para inteiro n, vale
z^{n}=r^{n}\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right).
Aqui r=|z| é o módulo (número real positivo) e \theta é o argumento (ângulo). Ao elevar, o módulo é elevado a n e o argumento é multiplicado por n.

Passo 4

Aplicar De Moivre a (1-i)^{n}. Usando \theta=-\tfrac{\pi}{4} e r=\sqrt{2},
(1-i)^{n}=(\sqrt{2})^{n}\left(\cos\left(-\tfrac{n\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\tfrac{n\pi}{4}\right)\right).
Para que (1-i)^{n} seja um número real, é preciso que a parte imaginária seja zero, ou seja \sin\!\left(-\tfrac{n\pi}{4}\right)=0. Para que seja um real positivo, além disso o cosseno correspondente deve ser positivo:
\cos\!\left(-\tfrac{n\pi}{4}\right)>0.

Passo 5

Resolver a condição \sin\!\left(-\tfrac{n\pi}{4}\right)=0. Seno é zero quando o ângulo é múltiplo de \pi. Logo existe inteiro k tal que
-\tfrac{n\pi}{4}=k\pi \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{n}{4}=k \quad\Longrightarrow\quad n=-4k.
Escrevendo de forma mais conveniente (multiplicando por -1): n=4m com m=-k inteiro. Outra maneira equivalente é exigir que o argumento seja congruente a 0 ou \pi módulo 2\pi; mas para número real positivo queremos especificamente argumento congruente a 0 módulo 2\pi.

Passo 6

Impor que o argumento seja 0 modulo 2\pi (não \pi, porque \pi daria número real negativo). Assim precisamos de inteiro t tal que
-\tfrac{n\pi}{4}=2t\pi.
Multiplicando por -1 e dividindo por \pi:
\tfrac{n}{4} = -2t \quad\Longrightarrow\quad n= -8t.
Como t é inteiro, isto equivale a n sendo múltiplo de 8. Em termos positivos, os valores possíveis são n=8,16,24,\dots.

Passo 7

Procurar o menor inteiro positivo: entre os múltiplos de 8 o menor positivo é n=8. Podemos verificar diretamente por cálculo de potências:
(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i,
(1-i)^{4}=(-2i)^{2}=4\cdot i^{2}=4\cdot(-1)=-4\quad\text{(real, negativo)},
(1-i)^{8}=((-4))^{2}=16\quad\text{(real, positivo)}.
A verificação confirma que n=8 é o menor inteiro positivo que torna (1-i)^{n} um real positivo.

Resposta

8

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