Determine o menor inteiro positivo
para o qual
seja um número real positivo. Justifique sua resposta analisando o argumento do número na forma polar.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor inteiro positivo
tal que
seja um número real positivo. Informação dada: o número complexo inicial é
. Não há outras restrições; precisamos justificar usando o argumento do número na forma polar.
Passo 2
Converter
para a forma polar: primeiro módulo e argumento.
- Módulo:
- Argumento: o ponto
está no quarto quadrante; o ângulo referente ao vetor é abaixo do eixo positivo dos reais, portanto o argumento principal pode ser tomado como . Assim escrevemos
Passo 3
Explicar a regra para elevar à potência inteira (fórmula de De Moivre): se
então, para inteiro
, vale
Aqui
é o módulo (número real positivo) e
é o argumento (ângulo). Ao elevar, o módulo é elevado a
e o argumento é multiplicado por
.
Passo 4
Aplicar De Moivre a
. Usando
e
,
Para que
seja um número real, é preciso que a parte imaginária seja zero, ou seja
. Para que seja um real positivo, além disso o cosseno correspondente deve ser positivo:
Passo 5
Resolver a condição
. Seno é zero quando o ângulo é múltiplo de
. Logo existe inteiro
tal que
Escrevendo de forma mais conveniente (multiplicando por
):
com
inteiro. Outra maneira equivalente é exigir que o argumento seja congruente a
ou
módulo
; mas para número real positivo queremos especificamente argumento congruente a
módulo
.
Passo 6
Impor que o argumento seja
modulo
(não
, porque
daria número real negativo). Assim precisamos de inteiro
tal que
Multiplicando por
e dividindo por
:
Como
é inteiro, isto equivale a
sendo múltiplo de
. Em termos positivos, os valores possíveis são
.
Passo 7
Procurar o menor inteiro positivo: entre os múltiplos de
o menor positivo é
. Podemos verificar diretamente por cálculo de potências:
A verificação confirma que
é o menor inteiro positivo que torna
um real positivo.