Utilize a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre para calcular (-1-i)^{8}. Descreva cada passo, desde a conversão para a forma polar até o cálculo final.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1-i)^{8} usando a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre.
Informações dadas:
  • O número complexo a ser elevado é z = -1 - i.
  • O expoente é n = 8.

Passo 2

Calcular o módulo r de z. Lembre que, para um complexo z = x + i y, o módulo é
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=-1 e y=-1. Então
r=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 3

Determinar o argumento \theta de z. Para z=x+iy com x\neq0, uma forma prática é calcular
\theta_{0}=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
e depois ajustar conforme o quadrante onde (x,y) está. Aqui
\frac{y}{x}=\frac{-1}{-1}=1\quad\Rightarrow\quad \theta_{0}=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Como x=-1<0 e y=-1<0, o ponto está no terceiro quadrante; portanto deve-se acrescentar \pi a \theta_{0}. Assim
\theta=\theta_{0}+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}.
(Observação: \frac{5\pi}{4} é equivalente a -\tfrac{3\pi}{4} módulo 2\pi; qualquer escolha equivalente funciona, desde que seja consistente.)

Passo 4

Escrever z na forma polar z=r(\cos\theta + i\sin\theta). Substituindo r=\sqrt{2} e \theta=\dfrac{5\pi}{4}:
z=\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right).

Passo 5

Apresentar a Primeira Fórmula de De Moivre. Para r\ge 0, \theta\in\mathbb{R} e inteiro n, vale
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Explicando de leve: a fórmula permite elevar um número complexo em forma polar ao inteiro n simplesmente elevando o módulo a n e multiplicando o argumento por n.

Passo 6

Aplicar De Moivre com n=8. Primeiro calcular r^{8}:
r^{8}=(\sqrt{2})^{8}=\bigl(2^{1/2}\bigr)^{8}=2^{8/2}=2^{4}=16.
Agora calcular n\theta:
n\theta=8\cdot\frac{5\pi}{4}=10\pi.

Passo 7

Calcular \cos(n\theta) e \sin(n\theta). Usando periodicidade com período 2\pi:
\cos(10\pi)=\cos(0)=1,\qquad \sin(10\pi)=\sin(0)=0.
Logo, pela fórmula de De Moivre,
(-1-i)^{8}=r^{8}\bigl(\cos(10\pi)+i\sin(10\pi)\bigr)=16\bigl(1+i\cdot 0\bigr)=16.

Resposta

16

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