Utilize a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre para calcular
. Descreva cada passo, desde a conversão para a forma polar até o cálculo final.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a forma polar e a Primeira Fórmula de De Moivre.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número complexo a ser elevado é
. - O expoente é
.
Passo 2
Calcular o módulo
de
. Lembre que, para um complexo
, o módulo é
Aqui
e
. Então
Passo 3
Determinar o argumento
de
. Para
com
, uma forma prática é calcular
e depois ajustar conforme o quadrante onde
está. Aqui
Como
e
, o ponto está no terceiro quadrante; portanto deve-se acrescentar
a
. Assim
(Observação:
é equivalente a
módulo
; qualquer escolha equivalente funciona, desde que seja consistente.)
Passo 4
Escrever
na forma polar
. Substituindo
e
:
Passo 5
Apresentar a Primeira Fórmula de De Moivre. Para
,
e inteiro
, vale
Explicando de leve: a fórmula permite elevar um número complexo em forma polar ao inteiro
simplesmente elevando o módulo a
e multiplicando o argumento por
.
Passo 6
Aplicar De Moivre com
. Primeiro calcular
:
Agora calcular
:
Passo 7
Calcular
e
. Usando periodicidade com período
:
Logo, pela fórmula de De Moivre,