Calcule o valor do limite a seguir.
lim x 1 raizx^2+8-3x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto1 raizx^2+8-3x-1. Esse problema envolve indeterminação do tipo 0/0 e faz parte do conteúdo de limites, onde vamos usar o método de multiplicar pelo conjugado para racionalizar o numerador.

Passo 2

Substituindo x=1 temos raiz1^2+8-3=3-3=0 e o denominador 1-1=0, ou seja, dá 0/0. Para resolver isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é raizx^2+8+3.
Multiplicando pelo conjugado, a expressão se transforma assim:
[
\frac{\sqrt{x2+8}-3}{x-1};\cdot;\frac{\sqrt{x2+8}+3}{\sqrt{x^2+8}+3}
=\frac{x2+8-9}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{x2-1}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{x^2+8}+3)}
=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}
]

Passo 3

Agora que simplificamos e cancelamos (x-1), podemos avaliar diretamente o limite em x=1:
[
\frac{1+1}{\sqrt{1^2+8}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{2}{6}
=\frac{1}{3}
]

Resposta

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