Calcule o valor do limite a seguir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
. Esse problema envolve indeterminação do tipo
e faz parte do conteúdo de limites, onde vamos usar o método de multiplicar pelo conjugado para racionalizar o numerador.
Passo 2
Substituindo
temos
e o denominador
, ou seja, dá
. Para resolver isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
.
Multiplicando pelo conjugado, a expressão se transforma assim:
[
\frac{\sqrt{x2+8}-3}{x-1};\cdot;\frac{\sqrt{x2+8}+3}{\sqrt{x^2+8}+3}
=\frac{x2+8-9}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{x2-1}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{x^2+8}+3)}
=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}
]
Multiplicando pelo conjugado, a expressão se transforma assim:
[
\frac{\sqrt{x2+8}-3}{x-1};\cdot;\frac{\sqrt{x2+8}+3}{\sqrt{x^2+8}+3}
=\frac{x2+8-9}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{x2-1}{(x-1)(\sqrt{x2+8}+3)}
=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{x^2+8}+3)}
=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}
]
Passo 3
Agora que simplificamos e cancelamos
, podemos avaliar diretamente o limite em
:
[
\frac{1+1}{\sqrt{1^2+8}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{2}{6}
=\frac{1}{3}
]
[
\frac{1+1}{\sqrt{1^2+8}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{2}{6}
=\frac{1}{3}
]