Teste a série quanto a convergência ou divergência:
(a) sumn=1^infty n^2n^3+1
(b) sumn=1^infty 1n^2+6 n+13
© sumn=2^infty 1n(ln (n))^2
(d) sumn=3^infty n^2e^n
(e) sumn=1^infty nn^4+1
(f) sumn=1^infty 1n raizn.

Passo 1

O enunciado pede para testar, para cada série, se ela converge ou diverge usando conceitos de séries numéricas (séries “+p+”, comparação, teste da integral, teste da razão etc.).

Passo 2

Para a série sumn=1^infty n^2n^3+1, note que para n grande temos n^3+1sim n^3, logo n^2n^3+1sim1n. Como sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação de limite a dada série também diverge.

Passo 3

Para sumn=1^infty 1n^2+6n+13, para todo n vale n^2+6n+13>n^2, então 1n^2+6n+13<1n^2. Como sum1/n^2 é uma p-série com p=2>1, ela converge, e pela comparação direta a série dada também converge.

Passo 4

Para sumn=2^infty 1n(ln n)^2, aplicamos o teste da integral. Considere f(x)=1/(x(ln x)^2). Temos
integral2^inftydxx(ln x)^2=-1ln x|2^infty=1ln 2
que é finito. Logo a série converge.

Passo 5

Na série sumn=3^inftyn^2e^n usamos o teste da razão: seja an=n^2/e^n. Então
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^2/e^n+1n^2/e^n =1elimntoinftyl(1+tfrac1nr)^2=1e<1
Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 6

Para sumn=1^inftynn^4+1, note que n^4+1>n^4, então
nn^4+1
Como sum1/n^3 é p-série com p=3>1, ela converge, logo a série dada converge.

Passo 7

Para sumn=1^infty1nraizn, reescrevemos o termo geral como 1/(n^3/2). É uma p-série com p=3/2>1, portanto converge.

Resposta

(a) diverge; (b) converge; © converge; (d) converge; (e) converge; (f) converge.

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