Calcule o valor do limite
Passo 1
O enunciado pede o limite
quando
se aproxima de
. Isso é um caso de limite de função de duas variáveis que dá forma indeterminada
, então vamos primeiro verificar esse
e depois checar se dá para simplificar ou se o valor depende do caminho de aproximação.
Passo 2
Avaliações em
:
Portanto temos realmente forma indeterminada
.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o denominador para ver se há cancelamento:
Passo 4
Se houvesse cancelamento, o numerador também teria o fator
ou
. Mas olhando o numerador como polinômio em
:
o resto em
não é zero para valores gerais de
. Ou seja, não há fator comum que cancele
nem
. Isso sugere que o limite pode depender da direção pela qual nos aproximamos de
.
Passo 5
Para confirmar dependência de caminho, escolhemos duas trajetórias:
- Trajetória
. Então
Logo
2. Trajetória
. Ou seja,
. Substituindo em torno de
:
ao definir , temos
.
Perto de , o quociente vale aproximadamente
ao definir
Perto de
Mais precisamente, usando expansão linear, chega-se a
Como obtemos
numa trajetória e
noutra, o valor do limite varia com o caminho.
Resposta
O limite não existe (depende da direção de aproximação).