Calcule o valor do limite \underset{(x, y) \rightarrow(1,2)}{\lim } \frac{2 x^{2} y-5 x^{2}-3 x y+7 x+2 y-4}{2 x y-4 x-y+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{2x^{2}y \;-\;5x^{2}\;-\;3xy\;+\;7x\;+\;2y\;-\;4}{2xy\;-\;4x\;-\;y\;+\;2}
quando (x,y) se aproxima de (1,2). Isso é um caso de limite de função de duas variáveis que dá forma indeterminada 0/0, então vamos primeiro verificar esse 0/0 e depois checar se dá para simplificar ou se o valor depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Avaliações em (x,y)=(1,2):
\text{Numerador} = 2\cdot1^{2}\cdot2 -5\cdot1^{2}-3\cdot1\cdot2+7\cdot1+2\cdot2-4 =4-5-6+7+4-4=0,
\text{Denominador} = 2\cdot1\cdot2 -4\cdot1 -2 +2 =4-4-2+2=0.
Portanto temos realmente forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o denominador para ver se há cancelamento:
2xy -4x -y +2 = (2x)y -4x -y +2 = 2x(y-2) -1(y-2) = (y-2)(2x-1).

Passo 4

Se houvesse cancelamento, o numerador também teria o fator (y-2) ou (2x-1). Mas olhando o numerador como polinômio em y:
N(x,y)=2x^{2}y -3xy +2y \;-\;5x^{2}+7x-4 = y\bigl(2x^{2}-3x+2\bigr) \;+\;\bigl(-5x^{2}+7x-4\bigr),
o resto em y-2 não é zero para valores gerais de x. Ou seja, não há fator comum que cancele (y-2) nem (2x-1). Isso sugere que o limite pode depender da direção pela qual nos aproximamos de (1,2).

Passo 5

Para confirmar dependência de caminho, escolhemos duas trajetórias:
  1. Trajetória x=1. Então
f(1,y)=\frac{2\cdot1^{2}y -5\cdot1^{2}-3\cdot1\cdot y+7\cdot1+2y-4}{2\cdot1\cdot y-4\cdot1 -y+2} =\frac{2y-5-3y+7+2y-4}{2y-4-y+2} =\frac{y-2}{\,y-2\,}=1 \quad(y\neq2).
Logo
\displaystyle \lim_{y\to2}f(1,y)=1. 2. Trajetória y-2 = x-1. Ou seja, y = x+1. Substituindo em torno de (1,2):
ao definir t = x-1, temos y-2=t.
Perto de t=0, o quociente vale aproximadamente
\frac{-1\cdot t +1\cdot t}{t} \;=\;\frac{0}{t}=0.
Mais precisamente, usando expansão linear, chega-se a
\displaystyle \lim_{t\to0}f(1+t,2+t)=0. Como obtemos 1 numa trajetória e 0 noutra, o valor do limite varia com o caminho.

Resposta

O limite não existe (depende da direção de aproximação).

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