Determine o intervalo de convergência da série seguinte:
\sum_{n \geq 1}(-1)^{n} \frac{(4 x-1)^{n}}{n^{3} \cdot 6^{n} \cdot(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências em x \sum_{n \ge 1}(-1)^{n}\,\frac{(4x-1)^{n}}{n^{3}\,6^{n}\,(n+2)}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e depois verificar os extremos.

Passo 2

Denotando
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{(4x-1)^{n}}{n^{3}\,6^{n}\,(n+2)},
calculamos
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|4x-1|^{n+1}}{(n+1)^{3}\,6^{n+1}\,(n+3)}\, \frac{n^{3}\,6^{n}\,(n+2)}{|4x-1|^{n}} =\frac{|4x-1|}{6}.

Passo 3

Pela condição de convergência absoluta do teste da razão, queremos
\frac{|4x-1|}{6}<1 \quad\Longrightarrow\quad |4x-1|<6 \quad\Longrightarrow\quad -6<4x-1<6 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{5}{4}<x<\tfrac{7}{4}.

Passo 4

Verificamos x=-\tfrac{5}{4}. Nesse caso 4x-1=-6 e
a_{n}=\frac{(-1)^{n}(-6)^{n}}{n^{3}\,6^{n}\,(n+2)} =\frac{(-1)^{2n}}{n^{3}(n+2)} =\frac{1}{n^{3}(n+2)}.
Como 1/(n^{3}(n+2))\sim1/n^{4}, essa série converge por ser p-série com p=4>1.

Passo 5

Para x=\tfrac{7}{4} temos 4x-1=6 e
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{6^{n}}{n^{3}\,6^{n}\,(n+2)} =\frac{(-1)^{n}}{n^{3}(n+2)}.
Essa série alternada converge pelo critério de Leibniz e, em valor absoluto, é a mesma p-série de antes, logo também converge absolutamente.

Resposta

\left[-\frac{5}{4},\,\frac{7}{4}\right]

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