Desenvolva em série de MacLaurin a seguinte função:
f(x)=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^{-2x}. Para isso, vamos usar a definição de série de Maclaurin, que é a expansão de uma função em torno de x=0 usando as derivadas de f em 0.

Passo 2

A fórmula geral da série de Maclaurin de f é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
No nosso caso, f(x)=e^{-2x}. Como derivada de e^{t} é ela mesma, em cada derivação sobre x aparece um fator -2. Logo,
f^{(n)}(x)=(-2)^n\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad f^{(n)}(0)=(-2)^n\,e^0=(-2)^n.

Passo 3

Substituindo f^{(n)}(0)=(-2)^n na fórmula da Maclaurin, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n!}\,x^n.

Passo 4

Para ficar mais claro, podemos escrever os primeiros termos dessa série:
e^{-2x} =1-2x+\frac{(-2)^2}{2!}x^2+\frac{(-2)^3}{3!}x^3+\cdots =1-2x+\frac{4\,x^2}{2!}-\frac{8\,x^3}{3!}+\cdots.

Resposta

e^{-2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n!}\,x^n.

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