Dado o conjunto
, verifique se
é relação de equivalência em
:
(conj. dos números inteiros) e
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
Pergunta-se se
é uma relação de equivalência em
. Para isso precisamos verificar as três propriedades de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a reflexividade, que exige
Como para todo
vale
, concluímos que
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria, que exige
Mas se tomamos, por exemplo,
e
, temos
pois
, porém
já que
. Então
não é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade, que exige
Se
e
então
, logo
. Assim,
é transitiva.
Resposta
A relação
não é de equivalência, porque falha na propriedade de simetria.