Dado o conjunto A, verifique se R é relação de equivalência em A :
A=\mathbb{Z} (conj. dos números inteiros) e R=\{(a, b) \in A \times A ; a \leq b\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\mathbb{Z} e a relação
R=\{(a,b)\in A\times A\mid a\le b\}.
Pergunta-se se R é uma relação de equivalência em A. Para isso precisamos verificar as três propriedades de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificamos a reflexividade, que exige
\forall a\in A,\;(a,a)\in R.
Como para todo a\in\mathbb{Z} vale a\le a, concluímos que (a,a)\in R. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria, que exige
\forall a,b\in A,\;(a,b)\in R\;\Longrightarrow\;(b,a)\in R.
Mas se tomamos, por exemplo, a=1 e b=2, temos (1,2)\in R pois 1\le2, porém (2,1)\notin R já que 2\not\le1. Então R não é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade, que exige
\forall a,b,c\in A,\;(a,b)\in R\wedge(b,c)\in R\;\Longrightarrow\;(a,c)\in R.
Se a\le b e b\le c então a\le c, logo (a,c)\in R. Assim, R é transitiva.

Resposta

A relação R não é de equivalência, porque falha na propriedade de simetria.

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