Considere a seguinte função f(x, y)=\sqrt{100-4 x^{2}-\frac{100}{16} y^{2}}.
a) Achar o domínio (esbocar o lugar geométrico).
b) Determinar as curvas de nivel Para C=0 e C=10
a) Será que existe limite da função na origem (0,0) \cdot \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{y^{5} \cos ^{3}(x)+x^{3} \operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{4}+y^{4}+2 x^{2} y^{2}}

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=\sqrt{100-4x^{2}-\frac{100}{16}y^{2}}
e pede três coisas:
  1. o domínio de f (e esboçar o lugar geométrico desse domínio),
  2. as curvas de nível de f para C=0 e C=10,
  3. o limite em (0,0) da função
\frac{y^{5}\cos^{3}(x)+x^{3}\sin^{2}(y)}{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}.
Para resolver usamos a condição de existência da raiz quadrada, definição de curva de nível e técnicas de estimativa de limites em duas variáveis.

Passo 2

Precisamos que o radicando seja não-negativo:
100-4x^{2}-\frac{100}{16}y^{2}\ge0.
Rearranjando,
4x^{2}+\frac{100}{16}y^{2}\le100 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}\le1.
Logo o domínio é o conjunto dos pontos (x,y) dentro (ou sobre) a elipse de semi-eixos 5 em x e 4 em y, centrada na origem.

Passo 3

A curva de nível de valor C\ge0 satisfaz
f(x,y)=C \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{100-4x^{2}-\tfrac{100}{16}y^{2}}=C
\Longleftrightarrow\quad 100-4x^{2}-\tfrac{100}{16}y^{2}=C^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}+\tfrac{100}{16}y^{2}=100-C^{2}.
Para C=0 temos
4x^{2}+\tfrac{100}{16}y^{2}=100 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1,
ou seja, a fronteira da elipse.
Para C=10 vem 100-C^{2}=0, isto é
4x^{2}+\tfrac{100}{16}y^{2}=0
que só é satisfeito por x=0 e y=0. Logo a curva de nível C=10 é o ponto (0,0).

Passo 4

Analisamos
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{5}\cos^{3}(x)+x^{3}\sin^{2}(y)}{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}.
Note que x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}. Além disso
\bigl|y^{5}\cos^{3}(x)\bigr|\le|y|^{5}, \quad \bigl|x^{3}\sin^{2}(y)\bigr|\le|x|^{3}\,y^{2},
então
|\,\text{num}\,|\le|y|^{5}+|x|^{3}y^{2} \le(x^{2}+y^{2})^{5/2}+(x^{2}+y^{2})^{5/2} =2\,(x^{2}+y^{2})^{5/2}.
Logo
\biggl|\frac{\text{num}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\biggr| \le2\,(x^{2}+y^{2})^{1/2}\to0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

(a) O domínio de f é
\{(x,y)\mid\tfrac{x^{2}}{25}+\tfrac{y^{2}}{16}\le1\},
isto é, o interior e a fronteira da elipse de semi-eixos 5 e 4.
(b) Curvas de nível:
C=0:\;\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1; \quad C=10:\;(x,y)=(0,0).
(c)
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{5}\cos^{3}(x)+x^{3}\sin^{2}(y)}{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}} =0.

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