Calcule o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\sin x+\cos x e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x + \cos x\,e^x\bigr).
O conteúdo envolve limites de funções contínuas e as propriedades de soma e produto de limites, que permitem usar a substituição direta.

Passo 2

Pelas propriedades de limite de soma e produto, temos
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x + \cos x\,e^x\bigr) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x + \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(\cos x\,e^x\bigr),
e
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(\cos x\,e^x\bigr) = \Bigl(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\cos x\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}e^x\Bigr),
pois \sin x, \cos x e e^x são contínuas.

Passo 3

Substituindo x = \tfrac{\pi}{2}:
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \quad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \quad e^{\tfrac{\pi}{2}}=e^{\tfrac{\pi}{2}}.
Logo,
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x = 0\cdot e^{\tfrac{\pi}{2}}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x + \cos x\,e^x\bigr)=1+0=1.

Resposta

1

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