Calcule o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}}(2 \sin x-\cos x+\operatorname{cotan} x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\bigl(2\sin x - \cos x + \cotan x\bigr).
Como \sin x, \cos x e \cotan x são contínuas em x=\frac{\pi}{6} (já que \sin\frac{\pi}{6}\neq0), podemos usar substituição direta.

Passo 2

Calculamos os valores em x=\frac{\pi}{6}:
\sin\frac{\pi}{6} = \tfrac12,\quad \cos\frac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cotan\frac{\pi}{6} = \frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \sqrt3.

Passo 3

Substituindo na expressão:
2\sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} + \cotan\frac{\pi}{6} = 2\cdot\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 = 1 - \tfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3.

Passo 4

Agrupando os termos com \sqrt3:
-\tfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{2},
logo o limite fica
1 + \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{2 + \sqrt3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2 + \sqrt3}{2}

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