Calcule o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow-1}\left[(x+2)^{3}(x+7)^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to -1}\bigl[(x+2)^{3}(x+7)^{-1}\bigr].
O conteúdo envolvido é limite de função racional composta por polinômios e potência, e vamos usar a continuidade para fazer substituição direta, já que o denominador não zera em x=-1.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{(x+2)^{3}}{x+7}.
Como soma, potência e divisão de polinômios são operações contínuas, f é contínua em todo ponto onde x+7\neq0. Em particular, em x=-1 temos x+7=6\neq0, logo o limite existe e é igual a f(-1).

Passo 3

Para obter o valor do limite, basta substituir x=-1 em cada parte de f(x):
(x+2)^{3}\Bigl|_{x=-1}=(-1+2)^{3}=1^{3}=1,
x+7\Bigl|_{x=-1}=-1+7=6.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x \to -1}\bigl[(x+2)^{3}(x+7)^{-1}\bigr] =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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