Cheque se os limites abaixo säo indeterminaçöes, e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{2 x^{2}-2 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{x\to2}\frac{x-2}{2x^{2}-2x-4}
é uma forma indeterminada e, em caso afirmativo, calcular esse limite. Vamos usar o conceito de forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} e depois fatorar para simplificar a expressão.

Passo 2

Para checar a forma ao substituir x=2:
\text{numerador} = 2-2 = 0, \quad \text{denominador} = 2\cdot2^{2}-2\cdot2-4 = 8 - 4 - 4 = 0.
Como ficamos com \tfrac{0}{0}, isso é uma forma indeterminada e precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Fatoramos o denominador:
2x^{2}-2x-4 = 2\bigl(x^{2}-x-2\bigr) = 2\bigl(x-2\bigr)\bigl(x+1\bigr).
Logo, para x\neq2,
\frac{x-2}{2x^{2}-2x-4} = \frac{x-2}{2(x-2)(x+1)} = \frac{1}{2(x+1)}.

Passo 4

Agora calculemos o limite da forma simplificada quando x\to2:
\lim_{x\to2}\frac{1}{2(x+1)} = \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{6}.

Resposta

\lim_{x\to2}\frac{x-2}{2x^{2}-2x-4} = \frac{1}{6}.

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