Calcule o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(2 \sin x-\cos x+\operatorname{cotan} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\bigl(2\sin x - \cos x + \cot x\bigr).
O conteúdo é limite de funções elementares (seno, cosseno e cotangente) num ponto onde todas são definidas. Vamos usar a continuidade dessas funções para substituir x=\frac{\pi}{4}.

Passo 2

Analisamos cada termo em x=\frac{\pi}{4}:
  • \sin x e \cos x são contínuas em todo \mathbb{R}.
  • \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} é contínua sempre que \sin x\neq0. Como \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}\neq0, \cot x também é contínua em x=\tfrac{\pi}{4}.
    Logo, a soma 2\sin x - \cos x + \cot x é contínua em x=\tfrac{\pi}{4} e o limite vale o valor da função naquele ponto.

Passo 3

Calculamos os valores básicos:
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt2}{2},
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt2}{2},
\cot\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.

Passo 4

Substituindo em 2\sin x - \cos x + \cot x obtém-se
2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\;-\;\frac{\sqrt2}{2}\;+\;1 =\sqrt2 \;-\;\frac{\sqrt2}{2}\;+\;1 =1+\frac{\sqrt2}{2}.

Resposta

1 + \frac{\sqrt2}{2}.

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