Para que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{5 x^{3}-10 x^{2}}{x-2}, & x \neq 2 \\\ k, & x=2\end{cases}
Seja contínua, para todo valor de x , qual deverá ser o valor de k ?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{5x^{3}-10x^{2}}{x-2},&x\neq2,\\\ k,&x=2, \end{cases}
e pede o valor de k que torne f contínua em todo x. O ponto crítico é x=2, onde precisamos que
\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=k.

Passo 2

Para x\neq2, fatoramos o numerador e simplificamos:
5x^{3}-10x^{2}=5x^{2}(x-2),
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f(x)=\frac{5x^{2}(x-2)}{x-2}=5x^{2}\quad(x\neq2).

Passo 3

Como 5x^{2} é uma função polinomial, ela é contínua em x=2. Portanto
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}5x^{2}=5\cdot2^{2}=20.

Passo 4

Para garantir continuidade em x=2, deve valer
k=f(2)=\lim_{x\to2}f(x)=20.

Resposta

k=20

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