1. \lim _{x \rightarrow-1}\left[(x+2)^{3}(x+7)^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -1}\bigl[(x+2)^{3}(x+7)^{-1}\bigr].
O conteúdo aqui é limites de funções definidas por produto e quociente de expressões polinomiais e potências racionais. Vamos usar a continuidade de polinômios e de funções do tipo 1/(x+7) (exceto em x=-7) para aplicar a substituição direta.

Passo 2

Verificamos o domínio da função f(x)=(x+2)^{3}(x+7)^{-1}. A parte (x+2)^{3} é polinomial e contínua em todo \mathbb{R}. A parte (x+7)^{-1} é contínua em todo \mathbb{R}\setminus\{-7\}. Como queremos x\to -1, que não é -7, f é contínua em um entorno de -1.

Passo 3

Pela continuidade, o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
\lim_{x\to -1}(x+2)^{3}\,(x+7)^{-1} =\Bigl(\lim_{x\to -1}(x+2)^{3}\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{x\to -1}(x+7)^{-1}\Bigr).

Passo 4

Calculando cada limite por substituição direta:
\lim_{x\to -1}(x+2)^{3}=( -1+2)^{3}=1^{3}=1,
\lim_{x\to -1}(x+7)^{-1}=( -1+7)^{-1}=6^{-1}=\frac{1}{6}.
Logo, o produto vale 1\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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