Determine \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t) e verifique se a função vetorial F(t) é contínua em t_{0}, se
F(t)=\left(\frac{t-1}{\sqrt{t}-1}, \frac{2 t}{\sqrt{t^{2}+4}}, 5\right) e t_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{t\to1}F(t) e verificar se F é contínua em t_{0}=1. Aqui o conteúdo é limite de função vetorial e definição de continuidade, que exige existir o valor de F(1) e que ele coincida com o limite.

Passo 2

Para a primeira componente, temos a forma indeterminada \tfrac{t-1}{\sqrt{t}-1}. Racionalizando o denominador:
\frac{t-1}{\sqrt{t}-1}\cdot\frac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{t}+1} =\frac{(t-1)(\sqrt{t}+1)}{t-1} =\sqrt{t}+1.
Logo
\lim_{t\to1}\frac{t-1}{\sqrt{t}-1} =\sqrt{1}+1=2.

Passo 3

Para a segunda componente basta substituir t=1 diretamente, pois não há indeterminação:
\lim_{t\to1}\frac{2t}{\sqrt{t^{2}+4}} =\frac{2\cdot1}{\sqrt{1+4}} =\frac{2}{\sqrt{5}}.
A terceira componente é constante, então
\lim_{t\to1}5=5.

Passo 4

Reunindo as componentes, o limite vetorial é
\lim_{t\to1}F(t) =\bigl(2,\tfrac{2}{\sqrt{5}},5\bigr).

Passo 5

Para continuidade em t=1 é preciso que F(1) exista e seja igual a \bigl(2,\tfrac{2}{\sqrt{5}},5\bigr). Mas F(1) não está definido na primeira componente (denominador zero). Portanto F não é contínua em t_{0}=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to1}F(t)=\bigl(2,\tfrac{2}{\sqrt{5}},5\bigr).
A função F não é contínua em t_{0}=1 porque F(1) não está definido.

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