Calcule o valor dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-12}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+x-12}{x-3}.
Esse é um caso de limite de função racional. Sabendo que polinômios são funções contínuas e quocientes de polinômios são contínuos sempre que o denominador for diferente de zero, podemos usar a propriedade de continuidade para avaliar o limite por substituição direta, desde que x-3\neq0 em x=2.

Passo 2

Verificamos o denominador em x=2:
2-3 = -1 \neq 0.
Como o denominador não se anula, a função é contínua em x=2 e podemos calcular o limite simplesmente avaliando a expressão em x=2.

Passo 3

Calculamos o numerador em x=2:
2^{2} + 2 - 12 = 4 + 2 - 12 = -6.
E o denominador em x=2 já vimos que é
2 - 3 = -1.

Passo 4

Como a função é contínua em x=2, o limite é igual ao quociente dos valores encontrados:
\frac{-6}{-1} = 6.

Resposta

O valor do limite é 6.

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