Calcule o valor dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{3}{x}-3}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\frac{3}{x}-3}{1-x}.
O conteúdo é limites de funções racionais com indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar manipulação algébrica para simplificar.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=1:
\tfrac{3}{1}-3=0 e 1-1=0.
Portanto temos a forma indeterminada 0/0. Em vez de aplicar imediatamente L’Hôpital, faremos fatoração e cancelamento.

Passo 3

Simplificamos o numerador:
\frac{3}{x}-3 = \frac{3-3x}{x} = \frac{3(1-x)}{x}.

Passo 4

Substituímos na expressão original e cancelamos o fator 1-x:
\frac{\frac{3}{x}-3}{1-x} = \frac{\frac{3(1-x)}{x}}{1-x} = \frac{3(1-x)}{x(1-x)} = \frac{3}{x},
válido para x\neq1.

Passo 5

Agora o limite ficou simples:
\lim_{x\to1}\frac{3}{x} = \frac{3}{1} = 3.

Resposta

3

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