Determine o valor do limite da função a seguir, com x tendendo a 2 se:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-1 \text {, se } x<2 \\\ \frac{1}{x-2} \text {, se } x>2 \end{array}\right\}
a) Usando o conceito de limites laterais, à direita e à esquerda. Obs: se necessário, construa tabelas com valores à direita e à esquerda para a função.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x<2,\\[6pt] \dfrac{1}{x-2}, & \text{se }x>2, \end{cases}
e pede o valor de \lim_{x\to2}f(x) usando os limites laterais à esquerda e à direita. O conteúdo é cálculo de limites laterais, compará-los e concluir se o limite existe.]

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda, isto é, \lim_{x\to2^{-}}f(x). Como para x<2 valemos da expressão x^{2}-1, temos por continuidade de polinômios:
\lim_{x\to2^{-}}f(x) =\lim_{x\to2^{-}}(x^{2}-1) =2^{2}-1 =3.

Passo 3

Calcular o limite pela direita, isto é, \lim_{x\to2^{+}}f(x). Para x>2 usamos \tfrac{1}{x-2}. Quando x\to2^{+}, x-2 é um número positivo que tende a zero, logo
\lim_{x\to2^{+}}f(x) =\lim_{x\to2^{+}}\frac{1}{x-2} =+\infty.
Isso significa que os valores de f(x) crescem sem limite quando x se aproxima de 2 pela direita.

Passo 4

Comparando as duas laterais:
\lim_{x\to2^{-}}f(x)=3 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty,
como esses resultados são diferentes, o limite \lim_{x\to2}f(x) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to2^{-}}f(x)=3 \quad\neq\quad \lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty.

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