Calcule o valor dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^{5}+2 x}{2 x^{5}+x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{5}+2x}{2x^{5}+x^{2}-9}.
O conteúdo aqui é o estudo de limites de funções racionais no infinito, usando a comparação dos graus dos polinômios e a identificação dos termos dominantes.

Passo 2

Como o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau ( 5), dividimos todos os termos por x^{5}. Assim,
\frac{6x^{5}+2x}{2x^{5}+x^{2}-9} =\frac{x^{5}\bigl(6+2x^{-4}\bigr)}{x^{5}\bigl(2+x^{-3}-9x^{-5}\bigr)} =\frac{6+2x^{-4}}{2+x^{-3}-9x^{-5}}.

Passo 3

Agora fazemos x\to\infty. Como x^{-4}\to0, x^{-3}\to0 e x^{-5}\to0, a expressão torna-se
\frac{6+0}{2+0-0}=\frac{6}{2}=3.

Resposta

3

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