Derive as funções dadas a seguir:
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}.
O conteúdo é derivação de funções potência; vamos usar a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevemos f(x) com potências de x:
f(x)=x^{-1}-2\,x^{-2}+3\,x^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder termo a termo:
f'(x)=(-1)\,x^{-2}-2\cdot(-2)\,x^{-3}+3\cdot(-3)\,x^{-4}.
Isso dá
f'(x)=-x^{-2}+4\,x^{-3}-9\,x^{-4}.

Passo 4

Voltando a notação em frações, temos
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}-\frac{9}{x^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}-\frac{9}{x^{4}}.

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