Calcule o valor máximo da derivada direcional da função w=f(x, y, z) no ponto P0 :
w=e^x cos (y z) ; P0(1,0, pi).

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da derivada direcional de w=f(x,y,z) no ponto P0(1,0,pi), onde
w = e^xcos(yz)
Sabemos que o valor máximo da derivada direcional em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, ou seja,
max| u|=1D uw(P0) = |nabla w(P0)|

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de w:
partial wpartial x = e^xcos(yz), partial wpartial y = e^x,l(-sin(yz)r),z, partial wpartial z = e^x,l(-sin(yz)r),y

Passo 3

Agora avaliamos as parciais em P0(1,0,pi). Note que yz=0cdotpi=0, logo cos(0)=1 e sin(0)=0. Assim,
partial wpartial x(P0) = e^1cdot1 = e, partial wpartial y(P0) = -e^1cdotsin(0),pi = 0, partial wpartial z(P0) = -e^1cdotsin(0),0 = 0
Portanto
nabla w(P0) = l(e,0,0r)

Passo 4

O módulo do gradiente é
|nabla w(P0)| = raize^2+0^2+0^2 = e
Esse é o valor máximo da derivada direcional em P0.

Resposta

e

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