1. sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2.
O conteúdo envolve séries de potências e a soma de uma série do tipo sum k^3x^k.

Passo 2

Escrevemos a soma de forma conveniente:
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2 = 14sumk=1^infty k^3l(-tfrac12r)^k

Passo 3

Usamos a fórmula conhecida para sumk=1^infty k^3x^k (válida para |x|<1):
sumk=1^infty k^3x^k = x,(1+4x+x^2)(1-x)^4

Passo 4

Substituímos x=-tfrac12 na fórmula:
O numerador fica
(-tfrac12)l(1+4(-tfrac12)+(-tfrac12)^2r) = (-tfrac12)l(1-2+tfrac14r) = tfrac38,
e o denominador
l(1-(-tfrac12)r)^4 = l(tfrac32r)^4 = tfrac8116
Logo
sumk=1^infty k^3l(-tfrac12r)^k = tfrac38tfrac8116 = 38cdot1681 = 227

Passo 5

Voltando à soma original, multiplicamos por tfrac14:
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2 = 14,227 = 154

Resposta

154

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