1. sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em especial o teste da divergência (termo geral).

Passo 2

Para que uma série convirja, é condição necessária que o termo geral tenda a zero. O termo geral é
ak = k^2(-1)^k+1ln k
Como ln k cresce muito mais devagar que k^2, temos
limktoinftyk^2ln k = infty
Isso implica que
limktoinftyak
não existe como um número finito (o módulo diverge e o sinal oscila).

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária de convergência, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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