Simplifique as expressões das funções racionais:
f(x)=2x-x212-1x

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a função racional
f(x)=2x-x212-1x
Vamos usar as operações de soma e subtração de frações para reescrever numerador e denominador sobre um único denominador comum.

Passo 2

No numerador temos
2x-x2.
O denominador comum é 2x, então
2x = 2cdot 22x = 42x, x2 = xcdot x2x = x^22x
Logo
2x-x2 = 42x - x^22x = 4 - x^22x

Passo 3

No denominador temos
12-1x.
Também com denominador comum 2x:
12 = x2x, 1x = 22x
Logo
12-1x = x2x - 22x = x - 22x

Passo 4

Agora escrevemos f(x) como divisão de duas frações:
f(x) = 4 - x^22xx - 22x = 4 - x^22x times 2xx - 2
Perceba que 2x no numerador e no denominador se cancelam, ficando
f(x) = 4 - x^2x - 2

Passo 5

Repare que 4 - x^2 é diferença de quadrados:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) = -(x - 2)(x + 2)
Substituindo em f(x):
f(x) = -(x - 2)(x + 2)x - 2 = -(x + 2),
desde que xneq 0 (evita divisão por zero em 2x) e xneq 2 (evita divisão por zero no passo da fração).

Resposta

f(x) = -x - 2, xneq 0,,2

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