Calcule o valor máximo e mínimo local da função f(x)=x^3+3 x^2-45 x+30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os valores máximo e mínimo local da função $ f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 45x + 30 $. Para isso, vamos usar conceitos de Derivadas, que fazem parte do Cálculo. Vamos precisar encontrar a derivada da função, determinar onde essa derivada é zero (esses pontos são chamados de críticos) e então verificar quais desses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos.
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
3x^2 + 6x - 45 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 + 2x - 15 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = -15 $:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
Então, temos duas soluções:
b = 2
c = -15
Portanto, os pontos críticos são $ x = 3 $ e $ x = -5 $.

Passo 4

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos indica a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2 + 6x - 45) = 6x + 6
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para $ x = 3 $:
x = 3
Como $ f’’(3) > 0 $, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, $ x = 3 $ é um mínimo local.
  1. Para $ x = -5 $:
f''(3) = 6(3) + 6 = 18 + 6 = 24
Como $ f’’(-5) < 0 $, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, $ x = -5 $ é um máximo local.

Resposta

O valor máximo local da função ocorre em $ x = -5 $ e o valor mínimo local ocorre em $ x = 3 $.

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