Seja f(x)=x^4-4 x^3+20, x in R.
Faça o estudo dos sinais de f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a função f(x) = x^4 - 4x^3 + 20 e precisa estudar os sinais da primeira derivada f'(x) e da segunda derivada f''(x) . Isso vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo e a concavidade do gráfico dela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo.
Calculando f'(x) :
f'(x) = ddx(x^4) - ddx(4x^3) + ddx(20) = 4x^3 - 12x^2
Podemos fatorar essa expressão para facilitar:
f'(x) = 4x^2(x - 3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos em que f'(x) = 0 , pois esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo 4x^2(x - 3) = 0 :
4x^2 = 0 Rightarrow x = 0
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
Então, os pontos críticos são x = 0 e x = 3 .

Passo 4

Vamos agora analisar os sinais de f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos: (-infty, 0) , (0, 3) e (3, +infty) .
Escolhendo valores de teste em cada intervalo:
  1. Para x < 0 , digamos x = -1 :
f'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4(1)(-4) = -16 (negativo)
  1. Para 0 < x < 3 , digamos x = 1 :
f'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4(1)(-2) = -8 (negativo)
  1. Para x > 3 , digamos x = 4 :
f'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4(16)(1) = 64 (positivo)

Passo 5

Com base nesses sinais, podemos concluir:
  • Para x < 0 : f'(x) < 0 → A função está decrescendo.
  • Para 0 < x < 3 : f'(x) < 0 → A função continua decrescendo.
  • Para x > 3 : f'(x) > 0 → A função está crescendo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico da função.
Calculando f''(x) :
f''(x) = ddx(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x
Fatorando:
f''(x) = 12x(x - 2)

Passo 7

Vamos encontrar os pontos onde f''(x) = 0 :
12x(x - 2) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 2

Passo 8

Agora, analisamos os sinais de f''(x) nos intervalos: (-infty, 0) , (0, 2) e (2, +infty) .
Escolhendo valores de teste:
  1. Para x < 0 , digamos x = -1 :
f''(-1) = 12(-1)(-1 - 2) = 12(-1)(-3) = 36 (positivo)
  1. Para 0 < x < 2 , digamos x = 1 :
f''(1) = 12(1)(1 - 2) = 12(1)(-1) = -12 (negativo)
  1. Para x > 2 , digamos x = 3 :
f''(3) = 12(3)(3 - 2) = 12(3)(1) = 36 (positivo)

Passo 9

Com base nesses sinais:
  • Para x < 0 : f''(x) > 0 → A função é côncava para cima.
  • Para 0 < x < 2 : f''(x) < 0 → A função é côncava para baixo.
  • Para x > 2 : f''(x) > 0 → A função é côncava para cima.

Resposta

Resumindo, para a função f(x) = x^4 - 4x^3 + 20 :
  • Primeira Derivada f'(x) :
    • f'(x) < 0 para x < 3 → A função está decrescendo.
    • f'(x) > 0 para x > 3 → A função está crescendo.
  • Segunda Derivada f''(x) :
    • f''(x) > 0 para x < 0 e x > 2 → A função é côncava para cima nesses intervalos.
    • f''(x) < 0 para 0 < x < 2 → A função é côncava para baixo nesse intervalo.

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