Seja
.
Faça o estudo dos sinais de
e
.
Faça o estudo dos sinais de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a função
e precisa estudar os sinais da primeira derivada
e da segunda derivada
. Isso vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo e a concavidade do gráfico dela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo.
Calculando
:
Podemos fatorar essa expressão para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos em que
, pois esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos agora analisar os sinais de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
e
.
Escolhendo valores de teste em cada intervalo:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 5
Com base nesses sinais, podemos concluir:
- Para
: → A função está decrescendo. - Para
: → A função continua decrescendo. - Para
: → A função está crescendo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico da função.
Calculando
:
Fatorando:
Passo 7
Vamos encontrar os pontos onde
:
Passo 8
Agora, analisamos os sinais de
nos intervalos:
,
e
.
Escolhendo valores de teste:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 9
Com base nesses sinais:
- Para
: → A função é côncava para cima. - Para
: → A função é côncava para baixo. - Para
: → A função é côncava para cima.
Resposta
Resumindo, para a função
:
-
Primeira Derivada
: -
para → A função está decrescendo. -
para → A função está crescendo.
-
-
Segunda Derivada
: -
para e → A função é côncava para cima nesses intervalos. -
para → A função é côncava para baixo nesse intervalo.
-