Seja g: R R uma função limitada e seja f: R R a função dada por f(x)=x^2 g(x). Calcule f^prime(0).
( R: 0 ).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f em 0, onde g: ℝ→ℝ é uma função limitada e f(x)=x²g(x). Vamos usar a definição de derivada e o fato de que g é limitada.

Passo 2

Pela definição de derivada em 0, temos
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x
Como f(0)=0²g(0)=0, a expressão fica
f(x)-f(0)x=x^2g(x)x=x,g(x)

Passo 3

Como g é limitada, existe M>0 tal que |g(x)|≤M para todo x. Então
|x,g(x)|≤M|x|
e como M|x|→0 quando x→0, segue que xg(x)→0.

Passo 4

Portanto o limite que define f’(0) é zero, e concluímos que f’(0)=0.

Resposta

0

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