Seja
uma função limitada e seja
a função dada por
. Calcule
.
(
).
(
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f em 0, onde g: ℝ→ℝ é uma função limitada e f(x)=x²g(x). Vamos usar a definição de derivada e o fato de que g é limitada.
Passo 2
Pela definição de derivada em 0, temos
Como f(0)=0²g(0)=0, a expressão fica
Passo 3
Como g é limitada, existe M>0 tal que |g(x)|≤M para todo x. Então
e como M|x|→0 quando x→0, segue que xg(x)→0.
Passo 4
Portanto o limite que define f’(0) é zero, e concluímos que f’(0)=0.
Resposta
0