(a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3}, z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 .
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
e obtenha a solução do PVI que tem como condições iniciais y(1)=1 e y^{\prime}(1)=3. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Verificar quais, entre \;z_{1}(x)=x^{2},\;z_{2}(x)=x^{3},\;z_{3}(x)=e^{-x}\;, são soluções da equação
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
(b) Tomando uma solução obtida em (a) como \,y_{1}(x)\,, achar uma segunda solução \,y_{2}(x)\, tal que \,y_{1} e \,y_{2} formem um par de soluções fundamentais (ou seja, linearmente independentes).
(c) Obter a solução geral da equação e, com isso, resolver o PVI com condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=3.
Informações dadas relevantes:
A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é (x+3)y''+(x+2)y'-y=0.
Três funções candidatas são fornecidas: \;x^{2},\;x^{3},\;e^{-x}.
O ponto x=-3 torna o coeficiente de y'' nulo; portanto soluções fundamentais são consideradas em intervalos que não contenham x=-3 (por exemplo em torno de x=1).
Passo 2
Estratégia para (a): para cada função candidata z(x) calculo z' e z'' e substituo na equação. Se a expressão resultar identicamente em zero (para todos x no intervalo considerado), então z é solução.
Testando z_{1}(x)=x^{2}:
z_{1}'(x)=2x,\qquad z_{1}''(x)=2.
Substituindo em (x+3)z''+(x+2)z'-z:
(x+3)\cdot 2 + (x+2)\cdot 2x - x^{2}.
Calculo passo a passo:
(x+3)\cdot 2 = 2x+6,
(x+2)\cdot 2x = 2x^{2}+4x.
Somando e subtraindo x^{2}:
2x+6 + 2x^{2}+4x - x^{2} = x^{2} + 6x + 6.
Isso não é identicamente zero (varia com x), logo \;z_{1}(x)=x^{2}\; não é solução.
Isso não é identicamente zero (exceto em pontos isolados x=0 ou x=-3), portanto \;z_{2}(x)=x^{3}\; também não é solução da equação no sentido de solução válida em um intervalo.
Portanto a expressão é identicamente zero para todo x, logo \;z_{3}(x)=e^{-x}\; é solução da equação.
Conclusão parcial: dentre as três funções fornecidas, apenas \;e^{-x}\; é solução.
Passo 5
Para (b) precisamos de uma segunda solução linearmente independente de y_{1}(x)=e^{-x}. Vou usar o método da redução de ordem (muito útil quando conhecemos uma solução de uma equação linear homogênea de segunda ordem).
Primeiro coloco a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
dividindo por x+3 (válido quando x\neq -3). Assim
y'' + \frac{x+2}{x+3}\,y' - \frac{1}{x+3}\,y = 0.
Aqui \;P(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\; e \;Q(x)=-\dfrac{1}{x+3}.
A fórmula prática (resultado padrão da redução de ordem) para construir uma segunda solução y_{2}, dado y_{1}, é
onde a constante de integração pode ser escolhida convenientemente (uma constante multiplicativa em y_{2} apenas muda a combinação linear).
Breve justificativa da fórmula (intuição): com y_{2}=v(x)y_{1} e escolhendo v' de forma a simplificar a equação, chega-se a uma expressão para v' que leva ao integrando acima; não preciso rederivar completamente aqui, mas é essa a ferramenta padrão.
Passo 6
Calculo de \int P(x)\,dx. Temos
P(x)=\frac{x+2}{x+3} = 1 - \frac{1}{x+3},
pois x+2=(x+3)-1. Então
\int P(x)\,dx = \int \Big(1 - \frac{1}{x+3}\Big) dx = x - \ln|x+3| + C.
Escolhendo a primitiva sem a constante (ela cancela no exponencial até constante multiplicativa), obtemos
Esse determinante é não nulo para x\neq -3 (no intervalo que contém x=1 ele é estritamente positivo), logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.
Passo 9
Com isso, a solução geral da equação (em um intervalo que não contém x=-3) é a combinação linear das soluções fundamentais:
Portanto as constantes são C_{1}=-2e e C_{2}=1. A solução do PVI é
y(x) = -2e\,e^{-x} + (x+2) = -2e^{1-x} + x + 2.
Resposta
(a) Apenas \;z_{3}(x)=e^{-x} é solução da equação.
(b) Tomando \;y_{1}(x)=e^{-x}, uma segunda solução que forma, com y_{1}, um par fundamental é \;y_{2}(x)=x+2.
(c) Solução geral: \;y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2).\nSolução do PVI y(1)=1,\;y'(1)=3: \;y(x)=-2e^{1-x}+x+2.