A pergunta é: determinar se f é contínua (isto é, contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2 ou não).
Informações relevantes que já temos e que vou usar:
A função e^{t} é contínua em t=0 (na verdade em todo \mathbb{R}).
A região x>y é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2; a região x<y também é aberta; a reta x=y é a fronteira entre elas.
Devemos verificar continuidade em três tipos de pontos: (i) pontos com x>y (interior da primeira região), (ii) pontos com x<y (interior da segunda região), (iii) pontos sobre a reta x=y (fronteira).]
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade em \mathbb{R}^2 (forma \varepsilon-\delta): uma função f é contínua em (a,b) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta
então |f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon. Vou usar essa definição para verificar os pontos da função. Também vou usar a desigualdade triangular simples
|x-y| \le |x-a| + |y-a|,
e a estimativa
|x-a|+|y-a| \le \sqrt{2}\,\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}.
Passo 3
Continuidade em pontos com x>y (pontos interiores da região onde f=e^{x-y}). Seja (a,b) com a>b. Então \delta_0:=\dfrac{a-b}{2}>0. Se \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_0 então, em particular, |x-a|<\delta_0 e |y-b|<\delta_0, daí
ou seja, para esses pontos x>y também; portanto numa bola de raio \delta_0 em torno de (a,b) a função vale f(x,y)=e^{x-y}. Como a composição (x,y)\mapsto x-y é contínua e t\mapsto e^{t} é contínua, a composição (x,y)\mapsto e^{x-y} é contínua. Logo f é contínua em (a,b).
Passo 4
Continuidade em pontos com x<y (interior da região onde f=1). Seja (a,b) com a<b. Tomando \delta_1:=\dfrac{b-a}{2}>0 e exigindo \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_1 obtemos |x-a|<\delta_1 e |y-b|<\delta_1, então
ou seja x<y ainda; portanto numa bola de raio \delta_1 em torno de (a,b) a função é constante igual a 1. Uma função constante é contínua, então f é contínua em (a,b).
Passo 5
Continuidade na reta x=y. Seja (a,a) um ponto com a=a (qualquer ponto da reta x=y). Temos f(a,a)=1 porque a\le a. Quero mostrar que \lim_{(x,y)\to(a,a)} f(x,y)=1. Tomemos um \varepsilon>0. Como t\mapsto e^{t} é contínua em t=0, existe \eta>0 tal que
Se x\le y, então f(x,y)=1 e portanto |f(x,y)-1|=0<\varepsilon.
Se x>y, então f(x,y)=e^{x-y} e, como |x-y|<\eta, obtemos |f(x,y)-1|=|e^{x-y}-1|<\varepsilon por escolha de \eta.
Em ambos os casos |f(x,y)-1|<\varepsilon sempre que \sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}<\delta. Isso prova que \lim_{(x,y)\to(a,a)} f(x,y)=1=f(a,a), ou seja, f é contínua em qualquer ponto da reta x=y.
Passo 6
Juntando os resultados: f é contínua em todos os pontos com x>y (Passo 3), contínua em todos os pontos com x<y (Passo 4) e contínua em todos os pontos da reta x=y (Passo 5). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}^2.