Calcule o valor de S , onde S=log 4 log 3 9 2 log 81 ^3+log 0,8 log 16 ^32.

Passo 1

O enunciado pede
S = log4l(log39r);+;log2l(81^3r);+;log0,8l(log1632r)
Vamos precisar das propriedades
logab^k=klogab,
– mudança de base logab=ln bln a,
– e que 0,8=tfrac45.

Passo 2

Calcular log39. Como 9=3^2,
log39 = 2
Logo
log4l(log39r) = log4(2) = tfrac12,
pois 4^1/2=2.

Passo 3

Calcular log2l(81^3r). Primeiro note que 81=3^4, então
log2l(81^3r) =3,log2(81) =3,log2l(3^4r) =3cdot4,log23 =12,log23

Passo 4

Calcular log1632. Usando mudança de base ou potência de 2,
log1632 =ln(2^5)ln(2^4) =5ln24ln2 =tfrac54
Agora log0,8l(tfrac54r). Como 0,8=tfrac45, temos
log0,8!l(tfrac54r) =logtfrac45l((tfrac45)^-1r) =-1

Passo 5

Somando os três resultados:
S = tfrac12 ;+; 12,log23 ;+; (-1) = -tfrac12 + 12,log23

Resposta

S = 12,log23 ;-;tfrac12

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