Calcule o valor de partial fpartial u(1,2), onde f(x, y)=x^2+x y e u é o versor de v=(1,1). E qual é o valor máximo de partial fpartial u(1,2)?

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+xy no ponto (1,2) na direção do vetor vec v=(1,1). Ou seja, precisamos aplicar o conceito de gradiente e de derivada direcional:
– o gradiente nabla f reúne as derivadas parciais de f,
– a derivada direcional em vec u é dado por nabla fcdotvec u, onde vec u é o versor de vec v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(2x+y,;xr)
No ponto (1,2) isso vale
nabla f(1,2) = (2cdot1+2,;1) = (4,,1)

Passo 3

O versor vec u na direção de vec v=(1,1) é
vec u = vec v|vec v| = (1,1)raiz1^2+1^2 = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 4

A derivada direcional de f em vec u no ponto (1,2) é
partial fpartial vec u(1,2) = nabla f(1,2)cdot vec u = (4,,1)cdotl(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r) = 4+1raiz2 = 5raiz2

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional em um ponto ocorre na direção do próprio gradiente e é dado pelo módulo de nabla f. Assim,
max|vec u|=1partial fpartial vec u(1,2) = l|nabla f(1,2)r| = raiz4^2+1^2 = raiz17

Resposta

partial fpartial vec u(1,2)=5raiz2.
O valor máximo de partial fpartial vec u(1,2) é raiz17.

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