Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que: Ela é exata e x e^2 y-cos (x y)+y^2-1=0 é uma solução.

Passo 1

Temos a equação diferencial
l(e^2y-ycos(xy)r),dx + l(2x e^2y-xcos(xy)-2yr),dy = 0.
Queremos (a) verificar se ela é exata, e (b) checar se
x e^2y-cos(xy)+y^2-1=0
é, de fato, uma solução implícita.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=e^2y-ycos(xy), N(x,y)=2x e^2y-xcos(xy)-2y
Calculamos
partial Mpartial y =2e^2y-l[cos(xy)-xysin(xy)r] =2e^2y-cos(xy)+x ysin(xy),
partial Npartial x =2e^2y-l[cos(xy)-xysin(xy)r] =2e^2y-cos(xy)+x ysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x e^2y-integral ycos(xy),dx +h(y)
Como integral ycos(xy),dx =ycdotsin(xy)y=sin(xy), vem
phi(x,y)=x e^2y-sin(xy)+h(y)

Passo 4

Agora exigimos phiy=N. Calculamos
phiy =2x e^2y-l[xcos(xy)r]+h'(y) =2x e^2y-xcos(xy)+h'(y)
Igualando a N obtemos
2x e^2y-xcos(xy)+h'(y) =2x e^2y-xcos(xy)-2y Longrightarrow h'(y)=-2y
Longrightarrow h(y)=-y^2 + C
Logo
phi(x,y)=x e^2y-sin(xy)-y^2 = C,
ou seja, a solução geral é
x e^2y-sin(xy)-y^2=C

Passo 5

Comparando com a proposta
x e^2y-cos(xy)+y^2-1=0,
vemos que usaram cos(xy) em vez de sin(xy) e trocaram o sinal de y^2. Logo a solução dada está incorreta.

Resposta

A afirmação é falsa.

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