Um cultura de bactérias possuia inicialmente uma quantidade Q0 de bactérias. Após uma hora o número de bactérias é de 3 Q0 / 2. Se a razão de crescimento é proporcional ao número de bactérias Q(t) presente em um tempo t, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de proporcionalidade ( r ), e o tempo t0 necessário para que o número de bactérias triplique são respectivamente: Q^prime(t)=-r Q(t), Q(0)=Q0 ; r=ln (3 / 2) ; t0=ln (15) / r.

Passo 1

O enunciado descreve uma cultura de bactérias com crescimento proporcional à quantidade presente, isto é, um modelo de crescimento exponencial. Sabemos que inicialmente a cultura tem ,Q(0)=Q0 e que após uma hora ,Q(1)=tfrac32Q0. Precisamos achar (1) a forma da equação diferencial, (2) a constante de proporcionalidade r e (3) o tempo t0 para que Q(t0)=3Q0.

Passo 2

Como a taxa de crescimento é proporcional a Q(t), a equação diferencial é do tipo
Q'(t)=r,Q(t),
com condição inicial
Q(0)=Q0,
onde r>0 é a constante de crescimento.

Passo 3

Resolvendo por separação de variáveis, temos
dQQ=r,dt
implies ln Q = r,t + C
Aplicando Q(0)=Q0 C=ln Q0, logo
Q(t)=Q0,e^r,t

Passo 4

Impondo Q(1)=tfrac32Q0, obtemos
Q0,e^rcdot1=32Q0
implies e^r=32
implies r = ln!l(tfrac32r)

Passo 5

Para triplicar, Q(t0)=3Q0, logo
Q0,e^r,t0=3Q0
implies e^r,t0=3
implies r,t0=ln 3
implies t0 = ln 3r = ln 3ln!l(tfrac32r)

Resposta

A equação correta é
Q'(t)=r,Q(t), Q(0)=Q0,
com
r = ln!l(tfrac32r), t0 = ln 3ln!l(tfrac32r)

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