Um cultura de bactérias possuia inicialmente uma quantidade
de bactérias. Após uma hora o número de bactérias é de
. Se a razão de crescimento é proporcional ao número de bactérias
presente em um tempo
, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de proporcionalidade (
), e o tempo
necessário para que o número de bactérias triplique são respectivamente:
.
Passo 1
O enunciado descreve uma cultura de bactérias com crescimento proporcional à quantidade presente, isto é, um modelo de crescimento exponencial. Sabemos que inicialmente a cultura tem
e que após uma hora
. Precisamos achar (1) a forma da equação diferencial, (2) a constante de proporcionalidade
e (3) o tempo
para que
.
Passo 2
Como a taxa de crescimento é proporcional a
, a equação diferencial é do tipo
com condição inicial
onde
é a constante de crescimento.
Passo 3
Resolvendo por separação de variáveis, temos
Aplicando
dá
, logo
Passo 4
Impondo
, obtemos
Passo 5
Para triplicar,
, logo
Resposta
A equação correta é
com