Calcule o valor do seguinte limite:
lim x 4(x^3-7 x^2+14 x-82 x^2-8 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto4 x^3 - 7x^2 + 14x - 82x^2 - 8x. O tema aqui é limite de função racional que gera indeterminação do tipo 0/0, e vamos usar fatoração para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que ocorre com a substituição direta de x=4:
4^3 - 7cdot4^2 + 14cdot4 - 8 = 64 - 112 + 56 - 8 = 0,
2cdot4^2 - 8cdot4 = 32 - 32 = 0
Logo, temos 0/0, que é indeterminado.

Passo 3

Para remover a indeterminação, fatoramos numerador e denominador. Denominador:
2x^2 - 8x = 2x(x - 4)
Numerador:
$$x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 4)(x^2 - 3x + 2) = (x - 4)(x - 1)(x - 2).
$$

Passo 4

Podemos então simplificar a fração cancelando o fator comum (x - 4):
x^3 - 7x^2 + 14x - 82x^2 - 8x = (x - 4)(x - 1)(x - 2)2x(x - 4) = (x - 1)(x - 2)2x

Passo 5

Agora a função está livre de indeterminação, então basta substituir x = 4 na expressão simplificada:
(4 - 1)(4 - 2)2cdot4 = 3cdot28 = 68 = 34

Resposta

tfrac34

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