Calcule o valor das seguintes expressões (Mostre os detalhes!):
\frac{1}{2} \div\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right) ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{1}{2} \div\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right).
Informações relevantes que temos: os dois números dentro da soma são as frações \frac{2}{3} e \frac{3}{4}; em seguida há uma divisão da fração \frac{1}{2} pelo resultado dessa soma. A tarefa é obter o valor numérico final, simplificando quando possível.

Passo 2

Primeiro precisamos somar as frações \frac{2}{3} e \frac{3}{4}. Para somar frações com denominadores diferentes, achamos um denominador comum. O menor denominador comum (MDC) entre 3 e 4 é 12. Então reescrevemos cada fração com denominador 12:
\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} = \frac{8}{12},
\frac{3}{4} = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{9}{12}.
Agora somamos numeradores porque os denominadores já são iguais:
\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}.

Passo 3

Agora temos que calcular \frac{1}{2} \div \frac{17}{12}. Vou explicar um princípio importante: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. O recíproco de uma fração \frac{c}{d} é \frac{d}{c}. Em fórmula:
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.
Aqui a,b,c,d representam numeradores e denominadores genéricos; no nosso caso a=1, b=2, c=17, d=12.

Passo 4

Aplicando a regra do recíproco:
\frac{1}{2} \div \frac{17}{12} = \frac{1}{2}\cdot\frac{12}{17}.
Antes de multiplicar, é bom tentar simplificar cruzando fatores para evitar números grandes. Observe que há um fator comum entre o 2 (denominador da primeira fração) e o 12 (numerador da segunda): ambos são divisíveis por 2. Fazendo a simplificação:
\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\frac{12}{17} = \frac{1}{1}\cdot\frac{6}{17} = \frac{6}{17}.
Expliquei a “cancelação” assim: dividimos 12 por 2 obtendo 6, e o 2 vira 1.

Passo 5

Portanto, após multiplicar e simplificar, o resultado final é
\frac{6}{17}.

Passo 6

Só para checar rapidamente: em decimal \frac{1}{2}=0,5 e \frac{2}{3}+\frac{3}{4}\approx 1,416, então 0,5/1,416\approx 0,353. E \frac{6}{17}\approx 0,3529, que bate com a estimativa — sinal de que nosso cálculo faz sentido. Você foi bem; continue assim que a prática fixa esses passos!

Resposta

\frac{6}{17}

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