Calcule o valor das seguintes expressões (Mostre os detalhes!):
\left(\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}\right) \div \frac{1}{6} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}\right) \div \frac{1}{6}.
Informações dadas: as três frações \frac{5}{7}, \frac{2}{3} e \frac{1}{6} e a ordem das operações (primeiro o produto dentro dos parênteses, depois a divisão pelo terceiro fator). A tarefa é mostrar todos os detalhes e chegar ao valor final.

Passo 2

Entendendo multiplicação de frações (pequena aula): para multiplicar duas frações \frac{a}{b} e \frac{c}{d} usamos a regra
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},
onde a e c são os numeradores (números de cima) e b e d são os denominadores (números de baixo). Isso significa que multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Exemplo rápido: \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot2}{4\cdot5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.

Passo 3

Aplicando a multiplicação dada: calculemos primeiro
\frac{5}{7}\cdot\frac{2}{3}.
Usando a regra da multiplicação:
\frac{5\cdot2}{7\cdot3}=\frac{10}{21}.
Observação sobre simplificação: \gcd(10,21)=1, então \frac{10}{21} está na forma irredutível.

Passo 4

Entendendo divisão por fração (pequena aula): dividir por uma fração \frac{p}{q} é o mesmo que multiplicar pelo seu recíproco \frac{q}{p}. Ou seja,
\left(\text{algo}\right)\div\frac{p}{q}=\left(\text{algo}\right)\cdot\frac{q}{p}.
Recíproco de \frac{1}{6} é \frac{6}{1}, que é simplesmente 6. Exemplo rápido: \frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{3\cdot2}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Aplicando a divisão ao resultado do passo anterior:
\left(\frac{10}{21}\right)\div\frac{1}{6}=\frac{10}{21}\cdot\frac{6}{1}.
Escrevendo a multiplicação:
\frac{10\cdot6}{21\cdot1}=\frac{60}{21}.

Passo 6

Simplificando a fração \frac{60}{21}: ambos os números são divisíveis por 3. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{60\div3}{21\div3}=\frac{20}{7}.
Alternativa (atalho de simplificação antes de multiplicar): ao invés de multiplicar direto, poderíamos simplificar 6 com 21 primeiro, pois \gcd(6,21)=3. Fazendo 6\div3=2 e 21\div3=7, obtemos \frac{10}{1}\cdot\frac{2}{7}=\frac{20}{7}, mesmo resultado.

Passo 7

Podemos também escrever \frac{20}{7} como número misto, se preferir. Fazendo a divisão inteira 20\div7 obtemos quociente 2 e resto 6, logo
\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}.

Resposta

\frac{20}{7}
2\frac{6}{7}

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