Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
integral0^pi / 3 sin ^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^pi/3 sin^3x cos^2x , dx . Isso envolve cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar manipular as funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando que temos sin^3x e cos^2x , uma boa ideia é definir u = sin x . Isso porque a derivada de sin x envolve cos x , que já está presente na integral.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x :
du = cos x , dx
Isso significa que podemos substituir cos x , dx por du na integral.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u . Sabemos que:
sin^3x = u^3
E como cos^2x = 1 - sin^2x , temos:
cos^2x = 1 - u^2

Passo 5

Substituindo tudo na integral, ficamos com:
integral0^pi/3 sin^3x cos^2x , dx = integralu=0^u=sin(pi/3) u^3 (1 - u^2) , du

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u . Sabemos que:
sin(0) = 0
sin(pi3) = raiz32
Então, os novos limites são de 0 a raiz32 .

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
u^3 (1 - u^2) = u^3 - u^5
Assim, a integral fica:
integral0^raiz32 (u^3 - u^5) , du

Passo 8

Integramos termo a termo:
integral u^3 , du = u^44
integral u^5 , du = u^66
Portanto, a integral se torna:
[ u^44 - u^66 ]0^raiz32

Passo 9

Aplicamos os limites de integração:
( (raiz32)^44 - (raiz32)^66 ) - ( 0^44 - 0^66 )
Simplificando:
964 times 14 - 2764 times 16 = 9256 - 27384

Passo 10

Calculando:
9256 = 27768
27384 = 54768
Subtraindo:
27768 - 54768 = -27768
Como estamos lidando com uma integral positiva, consideramos o valor absoluto:
27768 = 9256

Resposta

O valor da integral é 9256 .

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