Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso envolve cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar manipular as funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando que temos e , uma boa ideia é definir . Isso porque a derivada de envolve , que já está presente na integral.
Passo 3
Calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que podemos substituir por na integral.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de . Sabemos que:
E como , temos:
Passo 5
Substituindo tudo na integral, ficamos com:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Sabemos que:
Então, os novos limites são de a .
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 8
Integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração:
Simplificando:
964 times 14 - 2764 times 16 = 9256 - 27384
Passo 10
Calculando:
9256 = 27768
27384 = 54768
Subtraindo:
27768 - 54768 = -27768
Como estamos lidando com uma integral positiva, consideramos o valor absoluto: