Determine as assíntotas verticais da função:
f(x)=x^2+2 xx^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 2x + 1} $. A matéria envolvida aqui é sobre funções racionais e suas assíntotas. Para isso, vamos precisar analisar onde o denominador é igual a zero, já que as assíntotas verticais acontecem nesses pontos, desde que o numerador não seja zero ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero. Então, vamos resolver a equação:
x

Passo 3

Essa equação quadrática pode ser fatorada. Observamos que:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 4

Agora, igualamos o fator a zero para encontrar os valores de $ x $:
x
Então, temos que o denominador é zero quando $ x = 1 $.

Passo 5

Mas precisamos verificar se o numerador também é zero nesse ponto. Substituindo $ x = 1 $ na expressão do numerador:
x = 1

Passo 6

Como o denominador é zero e o numerador é diferente de zero quando $ x = 1 $, isso significa que existe uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $.

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