Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que . E como , podemos substituir:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão:
Isso nos dá duas integrais para resolver separadamente:
Passo 4
Vamos resolver cada integral uma de cada vez. Começando com a primeira:
Aqui, podemos usar a substituição. Seja , então a derivada de em relação a é:
Passo 5
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
Sabemos que . Aplicando isso:
Passo 7
Juntando as duas partes, temos:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de a .
Passo 8
Primeiro, calculamos para :
Simplificando:
tan^2(pi3)8 - 14 ln|cos(pi3)|
Sabemos que tan(pi3) = raiz3 e cos(pi3) = 12 , então:
(raiz3)^28 - 14 ln(12) = 38 - 14 ln(12)
Passo 9
Agora, para x = pi16 :
tan^2(4 cdot pi16)8 - 14 ln|cos(4 cdot pi16)|
Simplificando:
tan^2(pi4)8 - 14 ln|cos(pi4)|
Sabemos que tan(pi4) = 1 e cos(pi4) = raiz22 , então:
1^28 - 14 ln(raiz22) = 18 - 14 ln(raiz22)
Passo 10
Agora, subtraímos os valores de x = pi16 de x = pi12 :