Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
integralpi / 16^pi / 12 tan ^3 4 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de tan^3(4x) no intervalo de pi16 até pi12 . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3(4x) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que tan^3theta = tantheta cdot tan^2theta . E como tan^2theta = sec^2theta - 1 , podemos substituir:
tan^3(4x) = tan(4x) cdot (sec^2(4x) - 1)

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão:
tan^3(4x) = tan(4x) cdot sec^2(4x) - tan(4x)
Isso nos dá duas integrais para resolver separadamente:
integral tan^3(4x) , dx = integral tan(4x) cdot sec^2(4x) , dx - integral tan(4x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral uma de cada vez. Começando com a primeira:
integral tan(4x) cdot sec^2(4x) , dx
Aqui, podemos usar a substituição. Seja u = tan(4x) , então a derivada de u em relação a x é:
dudx = 4 sec^2(4x) Rightarrow du = 4 sec^2(4x) , dx Rightarrow sec^2(4x) , dx = du4

Passo 5

Substituindo na integral:
integral tan(4x) cdot sec^2(4x) , dx = integral u cdot du4 = 14 integral u , du
Integrando:
14 cdot u^22 + C = u^28 + C = tan^2(4x)8 + C

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral:
integral tan(4x) , dx
Sabemos que integral tan(kx) , dx = -1k ln|cos(kx)| + C . Aplicando isso:
integral tan(4x) , dx = -14 ln|cos(4x)| + C

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
integral tan^3(4x) , dx = tan^2(4x)8 - 14 ln|cos(4x)| + C
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de pi16 a pi12 .

Passo 8

Primeiro, calculamos para x = pi12 :
tan^2(4 cdot pi12)8 - 14 ln|cos(4 cdot pi12)|
Simplificando:
tan^2(pi3)8 - 14 ln|cos(pi3)|
Sabemos que tan(pi3) = raiz3 e cos(pi3) = 12 , então:
(raiz3)^28 - 14 ln(12) = 38 - 14 ln(12)

Passo 9

Agora, para x = pi16 :
tan^2(4 cdot pi16)8 - 14 ln|cos(4 cdot pi16)|
Simplificando:
tan^2(pi4)8 - 14 ln|cos(pi4)|
Sabemos que tan(pi4) = 1 e cos(pi4) = raiz22 , então:
1^28 - 14 ln(raiz22) = 18 - 14 ln(raiz22)

Passo 10

Agora, subtraímos os valores de x = pi16 de x = pi12 :
(38 - 14 ln(12)) - (18 - 14 ln(raiz22))
Simplificando:
38 - 18 - 14 ln(12) + 14 ln(raiz22) = 28 - 14 ln(12) + 14 ln(raiz22)
14 - 14 ln(12) + 14 ln(raiz22)

Passo 11

Agora, vamos simplificar os logaritmos:
ln(12) = -ln 2 e ln(raiz22) = ln(2^-1/2) = -12 ln 2
Substituindo de volta:
14 - 14 (-ln 2) + 14 (-12 ln 2) = 14 + 14 ln 2 - 18 ln 2
Combinando os termos com ln 2 :
14 + (14 - 18) ln 2 = 14 + 18 ln 2

Resposta

O valor da integral definida é:
14 + 18 ln 2

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