Determine as assíntotas verticais da função:
f(x)=x^2+4 xx^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar as assíntotas verticais da função f(x) = x^2 + 4xx^2 - 2x - 3 . A gente vai trabalhar com funções racionais, que são aquelas onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para achar as assíntotas verticais, precisamos descobrir onde o denominador é zero, mas o numerador não é. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da função, que é x^2 - 2x - 3 . Queremos encontrar os valores de x que fazem esse denominador virar zero, porque nesses pontos a função pode ter uma assíntota vertical. Para isso, vamos resolver a equação:
x^2 - 2x - 3 = 0

Passo 3

Para resolver a equação quadrática x^2 - 2x - 3 = 0 , podemos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula geral para resolver ax^2 + bx + c = 0 é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
No nosso caso, a = 1 , b = -2 e c = -3 . Substituindo esses valores na fórmula:
x = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, as soluções são:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1

Passo 4

Agora que encontramos que o denominador se anula em x = 3 e x = -1 , precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos. O numerador é x^2 + 4x . Vamos testar:
Para x = 3 :
3^2 + 4 cdot 3 = 9 + 12 = 21 neq 0
Para x = -1 :
(-1)^2 + 4 cdot (-1) = 1 - 4 = -3 neq 0
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, isso significa que nesses valores de x a função realmente tem assíntotas verticais.

Resposta

As assíntotas verticais da função f(x) = x^2 + 4xx^2 - 2x - 3 estão em:
x = 3 e x = -1

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