Calcule o valor das seguintes integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é,
Como a região é um disco, vamos usar coordenadas polares e o jacobiano apropriado.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e a região fica
O integrando vira
logo o integrando completo é
Passo 3
O duplo integral separa em produto de um radial por um angular:
Primeiro a parte radial:
Passo 4
Agora a parte angular. Note que
portanto
pois
.
Passo 5
Multiplicando as duas partes, obtemos