Calcule o valor das seguintes integrais:
\iint_{R} x^{2}+2 y^{2} d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} (x^{2} + 2y^{2}) \,dx\,dy,
onde R é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é,
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Como a região é um disco, vamos usar coordenadas polares e o jacobiano apropriado.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
e a região fica
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
O integrando vira
x^{2} + 2y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\theta\bigr),
logo o integrando completo é
r^{2}(\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\theta)\cdot r = r^{3}(\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\theta).

Passo 3

O duplo integral separa em produto de um radial por um angular:
\iint_{R}(x^{2}+2y^{2})\,dx\,dy =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta)\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta)\,d\theta\Bigr).
Primeiro a parte radial:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr =\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} =\frac{16}{4} =4.

Passo 4

Agora a parte angular. Note que
\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\theta =1 + \sin^{2}\theta,
portanto
\int_{0}^{2\pi}(1 + \sin^{2}\theta)\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta \;+\;\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =2\pi + \pi =3\pi,
pois \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 5

Multiplicando as duas partes, obtemos
4 \times 3\pi = 12\pi.

Resposta

12\pi

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